Fondò in seguito la Corporazione delle nuove musiche divenuta poi sezione italiana della Società internazionale per la musica contemporanea. C. ebbe ilmerito,fra l'altro, di introdurre l'esecuzione in molte città italiane del Pierrot Lunaire di Schoenberg e nello stesso anno di aver diretto personalmente, per la prima volta in Italia, L'Histoire du Soldat di Stravinskij.
Divenne uno dei più conosciuti pianisti della sua generazione; nel 1930, fondò il "Trio Italiano", (con Arturo Bonucci e Alberto Poltronieri) che ebbe una grandissima notorietà in tutto il mondo.
Vinse numerosi premi nell'arco della sua molteplice attività, e gli vennero conferite numerose onorificenze
Nel settembre 1930 organizzò il primo Festival internazionale di musica contemporanea a Venezia, che suscitò vivaci polemiche nella stampa di quello come degli anni successivi; nel 1937 ne assunse la presidenza.
Ricoprì ancora numerosi incarichi e diresse per alcuni anni le Settimane senesi, grazie alle quali riuscì a promuovere la conoscenza di un patrimonio musicale italiano prodotto da autori in parte dimenticati: Vivaldi; Alessandro e Domenico Scarlatti (ma anche Pietro, Francesco e Giuseppe); i musicisti veneziani dei secc. XVI-XVIII (i Gabrieli, Monteverdi, Cavalli, Torelli, Bassani, Steffani, ecc.); Pergolesi.
Nel 1942 una grave malattia lo costrinse a rinunciare al corso estivo di perfezionamento in pianoforte in programma a Siena, e ad abbandonare le consuete attività didattiche e concertistiche. Pur gravemente provato, continuò a dare lezioni di pianoforte nella sua casa, a comporre alcune opere, proseguendo nella revisione ed edizione critica di grandi musicisti del passato (Bach, Mozart, Chopin, ecc.). L'ultim apparizione in pubblico, come pianista, ebbe luogo al teatro Eliseo di Roma l'11 febbraio del 1947. La sua morte sarebbe avvenuta il 5 marzo successivo, a poche settimane di distanza.